Quantos Genes Peprpetuamos?
Por: Jocax, GLIV: Apêndice CCom base no resultado do apêndice B, que nos diz que o número médio de genes que compartilhamos, por sermos da mesma espécie é de 68%, podemos calcular a taxa de sobrevivência de nossos genes em função do número médio de filhos por casal e do número de gerações.
Vamos colocar como hipótese simplificadora, que os alelos são seletivamente neutros, isto é, não possuem vantagens seletivas sobre os demais. Primeiramente devemos calcular o número de genes que um filho compartilha com o seu pai (ou mãe):
O genitor passa a seu filho 50% de seus cromossomos, o que não significa que seu filho vá possuir apenas 50% dos genes desse genitor ! É um erro muitíssimo comum, mesmo entre pessoas não leigas no assunto, achar que pelo fato de passarmos 50% de nossos cromossomo à nosso filho isso implicaria que nosso filho teria apenas 50% de nossos genes! Como veremos, isso é falso, o número de alelos que compartilhamos com nosso filho é muito maior.
O número de alelos que temos em comum com nosso filho pode ser calculado em duas parcelas : A parte que passamos diretamente através de nosso gameta, que compartilha conosco 100% de alelos, e outra parte que ele recebe do nosso cônjuge mas que também possuímos. Esta segunda parte que ele recebe de nosso cônjuge, como vimos no apêndice A, compartilha conosco 68% de alelos. A fração total será : 50%*100% + 50%*68% = 84% .
Ou seja, um filho compartilha com seu genitor 84% de alelos e não apenas 50% como é normalmente, e erroneamente, informado.
Para calcularmos o compartilhamento genético entre nós e um de nossos descendentes vamos supor um caso geral, na nossa árvore genealógica, na qual temos um de nossos descendentes ( ta...taraneto) que terá um filho com uma pessoa que não seja descendente e que portanto apresenta um compartilhamento genético conosco de M=68%.
Chamamos de Dn o nosso n-ésimo descendente na árvore genealógica e Fn o seu nível de compartilhamento genético conosco. Assim teremos:
D0 (Somos nós ) compartilhando F0 = 100% de nossos alelos
D1 ( Nosso Filho ) compartilhando F1 alelos nossos com D0 .
D2 ( Nosso Neto ) compartilhando F2 alelos nossos com D1.
.....
Dn compartilhando Fn alelos nossos com Dn-1
Vamos calcular agora a fração de alelos nossos (Fn) de Dn em relação à Dn-1 :Dn é um filho de Dn-1, assim, em relação à seu pai, Dn herdará o correspondente a uma parcela igual a (Fn-1/2) pois recebe apenas metade dos cromossomos de seu genitor. Em relação à sua mãe, Dn herdará uma outra parcela igual a ( M/2 ) = 68%/2 = 34%. Isso se deve ao fato que qualquer pessoa compartilha 68% de alelos uma com as outras. A soma destas duas parcelas nos dará a fração de alelos que Dn possui em relação a seu genitor :
Fn = Fn-1/2 + 34% , n>0 [ 1 ]
F0 = 1
Este tipo de equação, no qual fornece uma resposta de um nível, em função da resposta do nível anterior, é conhecida como Fórmula de recorrência ou Equação recorrênte.
Resolvendo esta equação teremos Fn em função de n :
Fn = 0,32/2n + 0,68 [ 2 ]
Podemos verificar a fórmula: F0 = 100% , F1 = 84% , F2 = 76% etc..
De posse deste dado podemos fazer uma estimativa da probabilidade de um dado alelo qualquer se propagar através das gerações. Para isso, vamos supor que cada casal tenha sempre um número fixo "NF" de filhos. Assim, em uma geração cada um dos NF filhos herdarão 84% de nossos alelos, e sendo que os alelos de cada filho são independentes dos alelos de seus irmãos, teremos que a probabilidade de nenhum deles possuir um dado alelo qualquer de seu pai será : PN1 = (1-84%)^NF
O número de nossos descendentes da n-ésima geração ( NDn ) , supondo que cada descendente tenha NF filhos será :
NDn = NF^n [ 3 ]
Se a freqüência de compartilhamento genético representa a probabilidade de termos um dado alelo nosso, então a probabilidade de não termos este alelo em nenhum descendente da n-ésima geração será :
PNn = ( 1 - Fn ) ^ NDn [ 4 ]
Substituindo Fn e NDn de (2) e (3) , teremos :
PNn = [ 0,32( 1 - 1/2n )] ^ ( NF^n ) [ 5 ]
E a probabilidade de termos este alelo em pelo menos um de nossos descendentes da n-ésima geração será :
Pn = 1 - PNn [ 6 ]
Finalmente chegamos a fórmula que fornece a probabilidade de nosso alelo estar presente em pelo menos um de nossos descendentes da n-ésima geração :
Pn = 1 - [ 0,32( 1 - 1/2n )] ^ ( NF^n ) [ 7 ]
Se tomarmos, como exemplo, que o número de filhos por casal seja NF = 2 ( nesta condição a população se manterá estável), então poderemos avaliar a equação (7) :
Podemos observar que a probabilidade do alelo se encontrar em algum descendente aumenta com o número de gerações. Isso deve-se ao fato de que o número de descendentes cresce exponencialmente.
Podemos alterar as fórmulas acima e calcularmos a probabilidade de um alelo mutante, que apenas nós possuimos, ser perpetuado em função do número de gerações. Para tanto, basta estabelecermos que a freqüência de compartilhamento de uma pessoa qualquer seja zero, isto é tomamos M=0 . Fazendo esta alteração a fórmula ( 7 ) ficaria :
PMutanten = 1 - ( 1 - 1/2n ) ^ ( NF^n ) [ 8 ]
Ou seja, no caso do alelo mutante, seletivamente neutro, a sua probabilidade de permanência na população irá decaindo mas nunca será menor do que 63%. Isto se deve ao fato de que a fórmula : ( 1 - 1/X ) ^ X , para X tendendo ao infinito , torna-se exp(-1) = 1/2,71828 , e a fórmula de Pmutante para um número infinito de gerações seria portanto: Pmutante = 1-exp(-1) = 1 -1/2,71828 = 63,21%
